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b. Lorsque l'aire P|P 2 P 3 est donnée en grandeur et en signe, les 

 points V { , P 2 , P 3 décrivent trois circonférences ayant pour centres 

 E,, E 2 , E 5 . Le point correspondant P de la figure ¥ parcourt une 



ellipse. 



c. Il existe deux triangles, P,P 2 P 3 et P,'P,P 3 , dont les sommets 

 sont des points homologues de F { , F 2 , F 3 et qui sont, l'un directe- 

 ment semblable, l'autre symétriquement semblable à un triangle 

 donné. Ils ont pour point double D (§ 36) , et les inverses de leurs 

 aires ont une différence constante. 



Les couples de points P,P',, P 2 PJ, P 3 P; divisent harmonique- 

 ment des diamètres des circonférences circonscrites aux 

 annexes. 



En particulier, les inverses des points I, , I 2 , I 3 par rapport 

 aux circonférences DiA 2 A 3 , A 1 D,A 5 , A,A 2 D 3 sont les sommets 

 d'un triangle iJJ- (*) directement semblable àL',L 2 L 3 . 



d. Lorsque l'angle de Brocard du triangle P|P 2 P 3 est constant, 

 les points P t , P 2 , P 3 décrivent trois circonférences de Schoute des 

 annexes D,A 2 A 3 , A,D 2 À 3 , AjA 2 D 3 . 



e. Parmi les triangles PiP 2 P 3 , le triangle antimodulaire a l'aire 

 maximum. 



En effet, si l'on regarde comme négative l'aire d'un triangle 

 dont l'orientation est différente de M,M 2 M 3 , le centre du cercle 

 M|M*M 3 donne lieu au triangle podaire maximum. 



(*) Voici, d'après M. M'Cay ( Transactions of the Royal Irish Acaderny, 

 juillet 1889), quelques propriétés du triangle i^i-J^. 



SoitQjQaQs le triangle ayant pour côtés les parallèles menées par i n i 2 , i~ 

 ' d hhi Vu iji'f ces parallèles sont les lignes homologues de F,, F 2 , F 3 , 

 puisqu'elles passent par des points homologues i l3 i s , / 3 et forment un 

 triangle semblable à L^L^L^.. Les hauteurs du triangle iJ.J-, pour la 

 même raison, sont des lignes homologues de F t , F 2 , F 3 ; comme elles 

 sont concourantes , elles doivent passer par I, , 1. 2 , I 3 et leur point de 

 concours h est sur la circonférence A^Aj (§ 42). Les triangles Q,Q 2 Q 3 , 

 A,A 2 A 3 ont pour centre de perspective le point diamétralement opposé 

 à h sur la circonférence A l A i A 3 . 



