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Lorsque la sécante PjP 2 P 3 tourne autour de D, les ares 

 décrits par P,, P 2 , P 3 correspondent à des angles au centre 

 égaux; par suite, les positions simultanées des points P,, P 2 , P 3 

 se correspondent dans trois figures semblables F^F^F^ 

 En faisant coïncider la sécante, successivement, avec les cordes 

 communes A,D, A 2 D, A 3 D, l'on voit que D,A t A,, A 2 D 2 A 2 , A 3 A 3 D 3 

 sont des triples de points homologues ; donc A, , A 2 , A 3 sont 

 les point doubles, et D n D 2 , D 3 sont les points adjoints de 

 F,, F 2 , F 3 . 



Corollaire. Trois circonférences E { , E 2 , E 3 passent par un 

 même point D et se coupent encore, deux à deux, aux points 

 Aj, A 2 , A 3 . Soient P l5 P 2 , P 3 leurs points de rencontre avec une 

 sécante menée par D. Les perpendiculaires abaissées de ces points 

 sur les côtés correspondants du triangle des centres concourent en 

 un même point, et le lieu de ces points est l'ellipse qui passe par 

 A,, A 2 , A 3 et a pour centre le point de concours des hauteurs du 

 triangle E,E 2 E 3 ; les parallèles menées par P, , P 2 , P 3 aux côtés 

 du triangle E^Es déterminent un triangle dont les côtés sont 

 doubles de ceux de E,E 2 E 3 . 



Ces propriétés se déduisent immédiatement des §§ 43 et 44. 



47. Sur deux systèmes associés de trois figures semrlarles. 

 Soient Fj, F 2 , F 3 les symétriques des trois figures semblables 

 F,, F 2 , F 5 , respectivement par rapport aux côtés A 2 A 3 , A 3 A,, 

 A,A 2 du triangle de similitude. Elles forment un second sys- 

 tème de trois figures directement semblables, ayant le même 

 triangle de similitude A,A 2 A 3 ; les points directeurs D, D' sont 

 des points jumeaux par rapport à A,A 2 A 3 , et les triangles anti- 

 modulaires E.E,E 3 , E'jE 2 E 3 sont symétriquement semblables 

 (les notations sont celles de la figure de Torricelli, n° 10). Soit 

 A le point tripolairement associé à L par rapport à L^LX^ et 

 soit A,A 2 A 3 le triangle antipodaire de A relativement à L,LX 3 ; 

 la figure modulaire du système FiF 2 F 3 est symétriquement 

 semblable à ALXXr, A,A 2 A 3 (*). 



O Le lecteur est prié de faire la figure. 



