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de sorte que les triangles A 4 P 2 P 3 et DE 2 E 3 , A 2 P 3 P, et DE 3 E,, 

 A 3 P 4 P 2 et DE,E 2 sont semblables. 

 De là : 



Vi- DE, », . DE, 



** e s 



o/^/eA 2 P 1 A 5 =P 1 ±(A i P,P 3 -hA 3 P 1 P 2 ) = P 1 ±(L)E 1 E 3 - + -DE 1 E 2 )=P 1 ±E 1 , 



et en calculant A 2 A 3 dans le triangle P 4 A 2 A 3 : 



-±_ = e \pl -h e\p\ — 2e 2 e 3 p 2 » 3 cos (\\ ± E,). (40) 



de; 



Le premier membre de cette égalité ne dépend pas du 

 triangle particulier PiP 2 P 3 ; le second est le covariant ÏJ* 

 ou U" (§ 22) des triangles E,E 2 E 3 , P,P 2 P 3 . Si Ton fait coïn- 

 cider P 4 P 2 P 3 avec E,E 2 E 3 , U 2 prend la valeur 16E 2 . Donc, tout 

 triple P1P2P3 de points homologues de trois figures semblables 

 jouit de la propriété que l'un des covariants U 2 , U' 2 rapportés au 

 triangle P,P 2 P 3 et au triangle antimodulaire E,E 2 E 3 a une valeur 

 constante, égale à seize fois le carré de la surface du triangle anti- 

 modulaire. On prend U 2 ou U' 2 suivant que les points P„ P 2 , P 3 

 sont intérieurs ou extérieurs aux cercles de M'Cay correspon- 

 dants. 



L'égalité (40) peut être remplacée par celles-ci (§ 22) : 



\ 6E* = 1 [ f (e, p) ± i/ f [e,e)ftp 9 p)] , (40 



8E = pi colE, + pi colE 2 -4- pi cotE 3 ± 4P. (42) 



Le premier membre de (40) doit conserver la valeur 16E 2 

 après une permutation circulaire des indices; par conséquent 



fliC 2 e 3 a 2 e 3 e, a 3 e i e i 



~dêT : : T)Ë7 DE, ' 



relations qui se ramènent à la forme 



« 1 = 2DE 1 sinE 1 , ... 

 et qui résultent également de ce que les côtés de A 1 A 2 A 3 sont 

 doubles des côtés du triangle podaire de D par rapport à E,E 2 E : . 



