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50. Remarques. — I. Si l'on introduit les éléments du 

 triangle M,M 2 M 3 , les relations (41), (42) deviennent : 



4M 2 = - [ ? [m, p) ± l/ ? (m, m)?{p, p)~\, 



2M = p\ col M, -+- p\ cot M 2 -+- p\ col M 3 ± 4P. (45) 



Elles caractérisent les triangles podaires du triangle M,M 2 M 3 . 



Pour établir directement l'égalité (43), considérons, dans la 

 figure 16, le triangle 7c 4 7c 8 7u 5 , dont nous désignons les côtés 

 par ;;,,#>, p 5 . On a 



p { = Mjtt . sin M,, p 2 — M 2 7r.sinM 2 , p z = M 3 t. sin M 3 ; 



tirant de là M,-, M 2 ~, Ms-it et substituant les valeurs dans la rela- 

 tion entre les distances mutuelles des quatre points tt, M 4 , M 2 ,M 3 , 

 on aura la formule demandée. 



Voici une autre méthode. Soient x { , a? 2l x 5 les distances 7nt,, 



7r~ 2 , 7w~ 3 ^ on a 



p\ = x| -+- x 2 -+- 2x 2 x 3 cos M, , . . . , 

 2M = WjXi -4- m 2 x 2 -+- w 3 x 3 , 

 db 2P = x 2 x 3 sin M, -f- x 5 x, sin M 2 -*- x,x 2 sin M 3 . 



Les premières égalités peuvent être écrites ainsi : 



\ — sin 2 M, 



h\ col M, = (x\ ■+- x 3 ) col M! -4- 2x 2 x 3 : — 



1 sin Mi 



(xi ■+- x 3 ) cos M, -+- 2x,x 3 ^ . mB 



= — 2x 2 x 3 sin M, ; 



sin 31 4 



si on les ajoute, on obtient, après quelques transformations 



faciles , 



2 2 Xi sin M, 



S/, 2 col M 4 = r : ■ qz 4P = 2M q= 4P. 



sin M, sin M 2 sin M 3 



II. L'équation (43) caractérise également une série antipo- 

 daire, pourvu que l'on regarde p { , ;; 2 , p 5 comme constants, 

 et m t , im , m z comme variables. On peut lui donner la forme 



wij cot P, -+- w 2 2 cot P 2 -4- m\ cot P 3 ± 4MP — 2M 2 = 0. 



