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51. Changement du point directeur. Continuons à designer 

 par P, P fî P 2 , P 3 des points homologues des figures F, F,, F 2î F 3 ; 

 construisons aussi une figure F 4 , semblable à F, , et telle que 

 E,E 2 E 3 , D,A 2 A 3 soient des éléments homologues de F 4 , F,. 

 Nous représentons par w le centre du cercle E,E.,E-; par Q 

 l'homologue de P f , dans les figures F t et F,; enfin par Q â Q s Q 3 

 le triangle réflexe de Q par rapport à E,E 2 E 3 . 



Si le point D décrit une ligne quelconque (D) dans le 

 plan du triangle antimodulaire, supposé fixe, la figure F! se 

 modifie, mais en restant semblable à F 4 ; E, est un centre 

 de similitude des différentes positions de F,, puisque c'est le 

 centre du cercle circonscrit au triangle DiA 2 A 3 . Les points D, A, 

 décrivent des lignes symétriques par rapport à la droite E,E 5 , 

 et le triangle A 2 E,P, est toujours semblable a E 2 coQ. Donc les 

 points D, Pi parcourent des lignes symétriquement semblables, 

 dont E £ est le centre de similitude et dont une droite double 

 fait avec E,E 3 un angle égal à la moitié de l'angle E 4 wQ. 



La figure PPiP 2 P 3 est toujours égale et parallèle à la 

 figure QQ 1 Q 2 Q 3 : donc les points P, P,, P 2 , P 3 décrivent des 

 trajectoires parallèles. Les points P, D décrivent des lignes 

 symétriquement semblables. Le centre de similitude de ces 

 lignes est le conjugué isogonal Q, de Q dans le triangle E,E 2 E 3 ; 

 car les points P, Q ont les mêmes coordonnées barycentriques, 

 respectivement dans les triangles A,A 2 A 3 , E,E 2 E 3 , et les coor- 

 données de Qi dans son triangle podaire relatif à EjE^ égalent 

 celles de Q dans EjEJ^, de sorte que D et P coïncident lors- 

 que D est en Q<. 



Remarque. Nous examinerons plus loin les positions remar- 

 quables du point directeur par rapport au triangle anti modu- 

 laire. 



