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Étant donnés un triangle fixe X,X 2 X 3 et un pian qui lui est 

 superposé, si Von fait tourner ce plan successivement autour des 

 points X,,X 2 , \ z de quantités égales aux doubles des angles X 3 X,X 2 , 

 XjXsXs, X 2 X 3 X,, il reprend sa position primitive. 



Pour démontrer intuitivement le dernier théorème, consi- 

 dérons dans le plan mobile un triangle X;X 2 X 3 qui, à l'origine 

 du mouvement, coïncide avec X^X,. Il est facile de voir 

 qu'après les trois rotations, chacun des points Xi, X;, X 3 reprend 

 sa position initiale. 



Un théorème analogue a lieu pour un corps que l'on fait 

 tourner successivement autour des trois arêtes d'un trièdre, 

 chaque fois d'une quantité égale au double du dièdre corres- 

 pondant du trièdre. 



Remarques. — I. Le triangle antimodulaire EjE^Es étant 

 donné, construisons trois figures f { , fc, f 3l symétriques d'une 

 môme quatrième f par rapport aux côtés du triangle X,X 2 X 3 . 

 Pour obtenir dea figures semblables F,, F 2 , F 3 qui corres- 

 pondent à une position quelconque du point directeur D dans 

 le plan E,E 2 E 3 , il suffit (§ 51) d'imprimer à /i, /j, f 3 , autour des 

 centres Ei, E 2 , E 3 , des rotations ayant pour mesures (*) 



r/E,D ç/E,P Ç/E3D 



cjEiO cjE& cjE h co 



II. Étant données deux figures directement égales, ¥ { et F 2 , 

 on peut construire, d'une infinité de manières, une troisième 

 figure F 3 , qui soit symétrique à la fois de F t et F 2 : les deux 

 axes de symétrie passent par le point double de F,, F 2 et font 

 un angle égal à la moitié de celui dont il faut faire tourner F, 

 autour du point double pour l'amener sur F 2 . 



53. Cas des trois centres de similitude en ligne droite. 

 Prenons pour point directeur un point quelconque D de la cir- 

 conférence circonscrite au triangle antimodulaire EJE 2 E 3 (fi g. 1 8). 



O Pour les notations, voir Laisant, Équipollences, p. 38. 



