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Fig. 19. 



Pi, P 2 , P3 trois points homologues et d,, d 2 , d 3 trois droites homo- 

 logues de ces triangles. 1° Les circonférences E,, E 2 , E 3 , les 

 droites AjD,, A 2 D 2 , A 3 D 3 et la circonférence E,E 2 E 3 se coupent en 

 un même point D; 2° Les parallèles menées par P„ P 2 , P 3 at/£ 

 droites DA,, DA 2 , DA 3 concourent en un même point de la 

 droite A 4 A 2 A 3 ; 3° Les perpendiculaires menées par P„ P 2 , P 3 aux 

 droites DA,, DA 2 , DA 3 forment un triangle dont les côtés sont 

 doubles de ceux du triangle E,E. 2 E 3 ; 4° Le triangle did 2 d 3 est 

 semblable à E,E 2 E 3 ; les droites qui en joignent les sommets, 

 respectivement, aux points A,, A,, A 3 sont parallèles entre elles ; 

 5° U orthocentre de E,E 2 E 3 est, situé sur la droite A,A 2 A 3 (*). 



54. Cas où le point directeur est a l'infini. Le triangle A,A 2 A- 

 restant fixe, transportons le point directeur à l'infini dans une 

 direction donnée 0. Menons par A,, A 2 , A 3 des parallèles 

 à S (fig. 19); elles coupent la circonférence de similitude aux 



points invariables I,, I 2 , I-. 

 Les deux triangles A,A 2 A : , 

 I,I 2 I 5 étant symétriquement 

 semblables, le second tri- 

 angle modulaire L'iL 2 L 3 est 

 semblable au triangle de 

 similitude A t A 2 A 3 . Les tri- 

 angles A,LI 5 , AJ3I1 sont 

 respectivement semblables 

 à LL 2 L 3 , LL 3 L t (fig. 13); 

 mais les angles A 3 I 3 L, A 2 I 3 I, 

 sont égaux (ou supplémen- 

 taires), il résulte de là que 

 les points L,, L 2 , L 3 sont en ligne droite, le centre modu- 

 laire L appartient à la circonférence L',L 2 L 3 et les quan- 

 tités m 4î ro a , w? 3 /§ 36) ont une somme nulle. Les points adjoints 



O Lorsque les triangles A,A 2 D 3 , D t A 2 A 3 , A 1 D 2 A 3 sont équilatéraux, ils 

 sont perspectifs avec tetriangle E^E, (E,E 2 E 3 est perspectif avec AjA.D,. 

 D t A 5 A 2 , A.DA), et les axes de perspective sont perpendiculaires aux 

 côtés de E.EjEs. — Voir Nouvelle Correspondance, 1. 1, p. 205, et t. II, p. 90. 



