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Cherchons les éléments principaux du système F,F 2 F 3 . 

 Si QiQ^Qs est une seconde position de PiP>P 3 , le centre de 

 similitude de F if F* est à l'intersection des circonférences 

 X 3 P,P 2 , X 3 Q,Q 2 ; c'est donc la projection A 3 de X 3 sur d. Les 

 autres points doubles sont les projections A, , A* de X, , X, 

 sur d. Le cas que nous étudions ici est donc celui du § 53. 



Construisons sur P,Qi, P 2 Q 2 , P 5 Q 5 trois triangles sem- 

 blables P^Ri, P2Q2R3, P3Q3R3. Les points R,, R 2 , R 3 sont des 

 points homologues de F,, F 2 , F 3 . Les perpendiculaires abaissées 

 de ces points sur les côtés correspondants deX,X 2 X 3 partagent 

 PiQi, P2Q2, PôQ- dans le même rapport et, par suite, concourent 

 en un point R de d. Il résulte de là (§ 43) que les points inva- 

 riables Ii, I 2 , I 3 et J,, J 2 , J 3 sont à l'infini sur les hauteurs 

 de XiX 2 X 3 ; donc les perpendiculaires abaissées de A, , A 2 , A 3 , 

 respectivement, sur X 2 X 3 , X 3 X,, X,X 2 concourent au point 

 directeur D du système F,F 2 F 3 . 



Lorsque d rencontre la circonférence X!X 2 X 3 en deux points 

 réels U, U', les droites de Simson de ces points passent par D; 

 car les projections de U, U' sur les côtés de X»X 2 X 3 repré- 

 sentent deux triples de points homologues de F, , F 2 , F 3 (n° 46). 



Si l'on prend pour d un diamètre de la circonférence X,X 2 X 3 , 

 le triangle antimodulaire a pour sommets les milieux des 

 côtés du triangle X,X 2 X 3 , et le point directeur appartient à la 

 circonférence des neuf points de X,X 2 X 3 . 



Remarques. — I. Nous venons de trouver le théorème 

 suivant : 



Soient A,, A 2 , A 5 les projections des sommets d'un triangle 

 XiX 2 X 3 sur une droite quelconque d : Les perpendiculaires abais- 

 sées de A,, A 2 , A 3 sur les côtés correspondants de X,X 2 X 3 con- 

 courent en un même point D ; les droites de Simson des points de 

 rencontre de la droite d avec la circonférence X L X 2 X 3 passent 

 également par D. 



On en déduit un moyen de construire l'intersection des 

 droites de Simson des deux points, réels ou imaginaires, où 

 une droite donnée coupe la circonférence circonscrite à un 

 triangle. 



