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II. Voici un cas particulier, remarquable, de la proposition 

 précédente : 



Soient A,, A 2 , A 3 les projections des sommets du triangle XiX 2 X 3 

 sur la tangente menée au point U de la circonférence circonscrite. 

 Les perpendiculaires abaissées de A,, A 2 , A 3 , respectivement 

 sur X 2 X 3 , X 3 X H X,X 2 , concourent au point où la droite de Simson 

 de U touche son enveloppe. 



III. La droite d et le point D (voir Remarque I) se corres- 

 pondent dans une transformation que nous avons étudiée dans 

 la Nouvelle Correspondance, t. IV, p. 379. Aux propriétés déjà 

 signalées, nous ajoutons maintenant les suivantes : 



Lorsque la droite d se meut parallèlement à elle-même, D décrit 

 une droite perpendiculaire à d. Aux diamètres du cercle X,X 2 X 3 

 correspondent les points du cercle des neuf points du trian- 

 gle X,X 2 X 3 . Aux tangentes du cercle X,X 2 X 3 correspondent les 

 points d'une hypocycloïde à trois rebroussemenls. 



IV. Les côtés du triangle PiP 2 P 3 enveloppent trois paraboles 

 ayant pour foyers A, , A 2 , A 3 et pour tangentes communes les 

 droites de Simson, relatives au triangle XiX 2 X 3 , des points de 

 rencontre de cl avec la circonférence X,X 2 X 3 . 



56. Trois ponctuelles semblables situées dans un même plan. 

 Considérons (fig. 21) trois ponctuelles semblables w,, m 2 , u 3 , 

 marquées sur les eûtes du triangle X,X 2 X 3 . Elles se corres- 

 pondent dans trois figures semblables F 4 , F 2 , F 3 , dont il est 

 facile de déterminer les éléments principaux, si l'on connaît 

 deux ternes (*) P,P 2 P 3 , QiQ 2 Q 3 de w,, u 2 , w 3 . En effet, les points 

 doubles Ai, A 2 , A 3 sont les secondes intersections des circon- 

 férences X â P 2 P 3 et XiQ 2 Q 3 , X 2 P 3 P, et X 2 Q 3 Q,, X 3 P,P 2 et X 3 Q,(L 

 (§ 33). Les droites X,Ai, X 2 A 2 , X 3 A 3 concourent en un même 

 point X de la circonférence A,A 2 A 3 (§ 42), et les parallèles 

 menées par X à X 2 X 3 , X 3 X,, X,X 2 déterminent sur la même 



(*) Nous sous-entendons les mots « de points homologues ». 



