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à P 5 P,, P 5 P 2 . D'après le théorème donné plus haut, les points 

 Pi, P? appartiennent à deux figures Fj, F 2 , qtii sont semblables 

 à F,, F 2 , F 5 . Mais le triangle OPiP 2 est équipollent à P-^P*. 

 Par conséquent, la série des triangles qui ont pour sommets trois 

 points homologues quelconques de trois figures semblables ¥ u F 2 , F 3 

 est identique à la série des triangles qui ont un sommet fixe et 

 dont les deux autres sommets sont des points correspondants de 

 deux figures F;, F 2 , semblables à F,, F,, F 3 et convenablement 

 choisies. 



V. Ce théorème résulte aussi du § 44. En effet, étant donné 

 le triangle antimodulaire E,E 2 E 3 de trois figures semblables 

 F„ F 2 , F 3 , la série des triangles PjPA, qui ont pour sommets trois 



points homologues , ne change 

 Fi s- 23 - pas avec la position du point 



directeur, pourvu que Von fasse 

 abstraction de la situation rela- 

 tive de ces triangles. Or, si l'on 

 fait coïncider le point direc- 

 teur D avec E t (fig. 23), tous 

 les points de F 4 coïncident 

 avec E^; les points doubles 

 A 2 , A 3 sont réunis en E, ; A, 

 est le symétrique de E 4 par 

 rapport à E 2 E 3 ; l'annexe D,A 2 A 3 se réduit au point E,, et les 

 deux autres annexes sont les triangles A 1 D 2 E 1 , AiE t D 3 symé- 

 triquement semblables à E,E 2 E 3 . Donc un triple P,P 2 P 3 se 

 compose de E { et de deux points homologues des triangles 

 semblables A^E,, A.EA- 



59. Théorème. Soit P,P 2 P 3 un terne quelconque de points 

 homologues de trois ponctuelles semblables u l5 u 2 , u s . Sur une base 

 fixe, on construit un triangle semblable à P 4 P 2 P 3 ' le sommet libre 

 de ce triangle décrit une circonférence. 



Cette proposition comprend la propriété des séries axiales, 

 démontrée au § 4. On peut la déduire des §§ 52, 54 et 18. En 

 voici une démonstration directe. 



