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sommets du premier triangle sur les côtés correspondants du 

 second concourent en un même point A. D'après un théorème 

 connu, les perpendiculaires abaissées de B,, B 2 , B 3 sur A 2 A* 

 A 3 A,, A,A a concourent en un second point B. Nous proposons 

 de dire que A est le métapôle (*) du couple A,A,A 3 , B,B,B- a ; que 

 B est celui du couple B,B>B 3 , A,A,A 3 . L'orthocentre d'un 

 triangle est le métapôle de ce triangle comparé à lui-même. 



Le théorème suivant généralise une propriété des séries 

 axiales (§ 17) : 



Étant données, sur trois droites u,, u 2 , u 3 , trois ponctuelles 

 semblables, on considère la série <r des triangles qui ont pour 

 sommets trois points quelconques. Si deux triangles de la série 

 sont orthologiques, deux triangles quelconques de cette série le 

 sont. Le métapôle d'un triangle variable et d'un triangle fixe de a 

 décrit une droite. Celui d'un triangle fixe et d'un triangle variable 

 parcourt une hyperbole équilatère. 



Soient (fig. 2o) P,P 2 P 3 , Q,Q 2 Q S deux triangles orthologiques 

 appartenant à a-, et soit R,R 2 R 3 un triangle quelconque de t. 

 Désignons par q l'orthocentre de Q,Q 4 Q 3 , par p le métapôle 

 de P,P,P t , Q,Q&. 



Par hypothèse, 



B,P, R,P, B 3 P 3 



r,q.~~r 2 q 2 ~r s q 3 ' 



on conclut, de ces proportions, que les perpendiculaires abais- 

 sées de Ri, R 2 , R 3 sur Q 2 Q 3 , Q 3 Q ( , Q,Q 2 concourent en un même 

 point r de la droite pq. Donc les triangles R,R 2 R 3 , QiQtQa sont 

 orthologiques. Si, dans ce raisonnement, on remplace U,ILQ-., 

 P,P 2 P 3 , R,R 2 B 3 par R,R 2 R 3 , Q,Q,Q 3 et un nouveau triangle T,T,T 3 

 de a-, ont voit que R,R 2 R 3 , T,T 2 T 3 sont orthologiques. 



Nous avons déjà démontré, dans ce qui précède, que le 

 métapôle r d'un élément variable R,R 2 R 3 et d'un élément 

 fixe Q1Q2Q5 de <r décrit une ponctuelle semblable aux ponc- 

 tuelles données u, , u*, u- . 



C) Ce terme a ici la même signification qu'au § 10. 



