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Remarques. — I. Soit q' le quatrième point commun à l'hy- 

 perbole H et à la circonférence Q,Q 2 Q 3 . Le faisceau </'(Q,Q a Q .-) 

 est inversement égal au faisceau associé au triangle Q,Q,Q 3 , et 

 ses rayons sont perpendiculaires aux côtés d'un certain trian- 

 gle QJQ-iQ? de ?. De là, le théorème suivant : 



Q.Q.Qô étant un triangle quelconque d'une série orthologique tr, 

 celle-ci comprend un triangle QiQ^Qg inversement semblable 

 à Q,Q 2 Qô. Les droites doubles des triangles semblables Q1CLQ3, 

 Q1Q2Q3 sont les supports des triangles aplatis X,X 2 X : , , Y,Y,Y:, de 

 la série ff. 



11. Le système de trois figures semblables F,, F 2 , F 3 com- 

 prend une infinité de séries orthologiques. En effet, si deux 

 droites rectangulaires menées par le point directeur D ren- 

 contrent les circonférences de M'Cay en deux ternes homo- 

 logues X,X 2 X 3 , Y,Y 2 Y 3 , les droites homologues X,Y,, X 2 Y 2 , X-Y 5 

 sont les supports de trois ponctuelles homologues de F,, F 2 , F-, 

 qui déterminent une série orthologique de triangles. Les som- 

 mets de deux triangles symétriquement semblables de la série 

 divisent harmoniquement les segments X,Yj,X 2 Y 2 , X 3 Y 3 (§4o,c). 



II ï. La théorie des séries orthologiques peut se déduire, en 

 partie, de la proposition suivante, dont la démonstration ne 

 présente pas de difficultés : 



Soient a.b.c,, a,b.A, ••• des ternes de rayons homologues de 

 trois faisceaux projectifs (a), (b), (ç), de même centre. Si trois de 

 ces ternes forment avec les droites a, p, y les involutions 



(a,a, 6,(3, c { y), [<*&, 6 2 S, r 8 y). («3*, b- % r 3 v), 



un terne quelconque abc des trois faisceaux forme avec a, % y 

 Vinvolution (aa, b ( 3, cy). 



62. Trois ponctuelles semblables. (Suite.) Soient M, M, M-, 

 N,N 2 N 3 , P,P 2 P 3 des ternes de points homologues de trois ponc- 

 tuelles semblables u ly m 2 , tfa, situées ou non dans un même 

 plan. Menons par un même point les droites OMi, OM 2l 



