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OM3, .-., égales et parallèles à M 2 M 3 , M 3 M 4 , MiM 2 , ... Les 

 points PI, Pa, P 3 divisent dans un même rapport ( 3 : a les 

 segments BIJNJ, M 2 N 2 , M 3 M 3 , et est le centre des moyennes 

 distances des triangles MJMiMj, NjN^N;, P,'P 2 P 3 . 



Désignons par ??i,, m 2 , m z , ... les côtés des triangles M,M 2 M 3 , ... 

 et par A,, )> 2 , X 3 les longueurs MJNi, M 2 N 2 , M 3 N 3 . Appliquant un 

 théorème de Stewart aux figures OM',NjPJ, ..., nous aurons 



«S 

 »m}« h- wfp = p| (a -t- (3) -f- \\ 



« + P' "' 



ou, en supposant a + [3 = 1, 



Hjfa -4- ?l 2 (3 — > 2 a(3 = p\, ... 



De là, les valeurs 



I 2 2 » 8 I I 9 9 . 9 I I 9 9 3 I 



rj — U L 3 —j. ; L a g = 1 LU. • 



| m* n À i a | r | m a ;* 2 A* | ' ' | m* «* A 2 | ' 



les déterminants sont dénotés ici par les éléments d'une ligne 

 écrite sans indices. 



Egalant la somme des deux premières valeurs à l'unité, et 

 leur produit à la troisième valeur, nous aurons 



| p 1 1? ). 2 | -t- | m 2 p- 1- | = | m* n 2 ï 2 \, (44) 



I 2 2 -\ 2 I I 9 9 « 2 1 I 2 9,9 1 I 9 9 91 /-y # / t." \ 



I p n A- I I m p 1~ | -+- I »? »"r | | m n p j — 0. (45) 



Considérons les triangles M,M 2 M 3 , N t N 2 N 3 commes fixes, 

 P,P 2 P 3 comme variable. L'élimination du déterminant \nf ri 1 X*| 

 entre les équations (44), (45) conduit à une relation homogène 

 entre/? 2 , pi, pi; celle-ci caractérise la forme des triangles P,P 2 P-, 

 et l'égalité (44) fixe leur grandeur. 



Lorsque les ponctuelles u { , il, u- sont dans un même plan, 

 les triangles P^Pg vérifient la formule (43); comment peut-on 

 déduire celle-ci des égalités (44) et (4o)? 



