— b — 



IL 



UNE RÉDUCTION. 



. 5. Dons la Note citée, M. Azzarelli démontre l'égalité 



s: + £ + 5; = 5 (cosA ^ cosB + cosC n- • m 



La quantité cos A -*- cos B -*- cos C est une fonction symé- 

 trique de A, B, C : elle doit donc être exprimable au moyen 

 des éléments du triangle ; savoir : R, r, p. 



En effet, si A', B', C sont les milieux des côtés (fig. 1), il est 

 visible que 



OA' = RcosA, OB' = RcosB, OC=Rco$C; 



donc 



OA' -f- OB' -4- OC 



cos A -+- cos B -+- cos C = . 



R 



Mais 



OA' + OB' -*- OC = R -*- r (**). 



Ainsi 



R + r .« 



cos A ■+■ cos B -+- cos C = — - — (* *); ... (7) 



R 



et la formule (6) devient 



\ 1 4 2(R-*-r) 



r. * 5; + ^ ~ R* 



(8) 



(*) Atti . . . , p. 150. Au lieu de r, nous écrivons R. 



O Th.etPr., p. 48. 



f *) Pour obtenir, directement, cette relation (7), il suffit d'observer que 



1 1 1 



C — 1 = 2 cos - (A -+- B) cos - (A — B) — 2 sin* - C 



— 2 



\ T 1 1 1 1 l „ ■ i 



= 2sin-G cos-(A-B) — cos-(A-f-B) -4sin- Asin-Bsin- 

 2 ± z J - 3 



__ (p-o)(p-6)(p-c) _ < IL-!! 

 a&c P«^c R 



