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III. 

 UNE RÉDUCTION (Suite). 



6. De la formule (7), on peut conclure les valeurs d'autres 

 fonctions symétriques. 



En effet, 



h 1 -+- c* — a 2 



cos A = ; 



26c 



donc 



R -+- r 1 ^ 6 2 -4- c 2 — a 2 \ ^ 



= - > = — — > [b 1 -4- r — ar)a 



R 2 ^ 6c 2a6c ^ v ; 



= — S [~(6 2 -4- c 2 -♦- a 2 ) a — 2a 3 l, 

 "2abc ** L J 



ou 



R -4- r » a 3 -4- 6* -4- c 5 



— - -=-f (a«+6« + . . 9 



R abc abc 



7. On sait que 



a 3 + 6 3 -t- c 3 — 5a6c = (a -+- b -+- c)(a 2 -4- 6 2 -4- c 2 — 6c — ca — ab) (*). 



Conséquemment, au moyen de la valeur (.5), l'égalité (9) devient 



R -+- r a 2 -4- 6 2 -*- c 2 6c -+- c« ■+■ ab 



~ R~ 4Rr 2Rr 



ou, après quelques réductions : 



2(6c-4- ca-4- a6) — (a 2 -4- 6 2 -4- c 2 ) = 4r(4R -4- r). (10) 



Et comme 



2 (6c ■+- ca -+- a6) -4- (a 2 -+- 6 2 -4- c 2 ) = 4/) 2 , 

 on a 



6c -4- ca -4- a6 = 4Rr -+- r 2 -♦- p 2 , . . . . (11) 



a 2 -4-6 2 -4-c 2 = 2(p 2 — r 2 — 4Rr) ... (12) 

 (*) Manuel des candidats à V École polytechnique, 1. 1, p. 9. 





