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ou , par les relations (3) et (17) : 



(Th 2 = 2R (R — 2r) — R 2 -*- 4r 2 = (R — 2r) 2 ; 



puis, comme 2r ne surpasse pas R : 



011 = R — 2r . . (19) 



Ainsi, pour tous les triangles ABC, la distance O'H est con- 

 stante. Autrement dit : 



Quand le triangle ABC, variable de forme, reste inscrit au 

 cercle et circonscrit au cercle I, l* orthocentre H décrit une 

 circonférence qui a pour centre le point 0', et dont le rayon est 



R--2r =-(*). 



11. Soit r le milieu de OH, c'est-à-dire le centre de la cir- 

 conférence des neuf points (1, note). On sait que le rayon p, 

 de cette circonférence, égale £R (**). Or, la droite ir est la 

 moitié de O'H. Ainsi 



IF = P — r (20) 



Cette formule démontre une propriété connue : La circon- 

 férence des neuf points est tangente au cercle inscrit (***). 



12. Quand les cercles directeurs 0, 1 sont donnés, le point 

 est fixe. D'ailleurs, OG = y OH, OV ={0H. Si donc, comme 

 on vient de le voir, le point H décrit une circonférence, les 

 points G, r décrivent également des circonférences ( 1V ). Le centre 

 de similitude de ces trois lignes est le point 0. 



O La première partie de ce théorème est due, croyons-nous, à M.Weill 

 (N. A., 1880, p. 256). 



O Th. et Pr., p. 170. 



(***) Loc. cit., p 176. On prouverait, aussi facilement, que la circonfé- 

 rence r est tangente aux cercles ex-inscrits. Ce beau théorème porte le 

 nom de Feuerbach. A l'endroit cité, je l'ai attribué, probablement par 

 erreur, au D r Hart : On ne prête qu'aux riches ! 



( ,v ) Weill (JV. A., 1880, p. 256). 



