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II. Si l'on change a, b, c en a, c, b, on a : 



2 2Rr 



,Q =-Tr[o 2 «(^ — o)-+-c 9 6(c — 6)-4-o 2 c(a—c)] . (40) 



III. Donc, rfa?7s fotd triangle rectiligne, les longueurs des côtés 

 satisfont à la relation 



6 2 a(6 — a) -4- c 2 6 (c — 6) -+- «V (a — c) = . . (50) 



28. Cite fonction symétrique. Des formules (47), (49), on 



déduit : 



— 2 , 2Rr 



1Q h- 112-= _[a6(a — bf+bc(b — cf+ca(c — af\. 



Soit Q le polynôme entre parenthèses : 



Q = a 6(a 2 ^_ 6 2 ) h- 6c (6 2 h- c" 2 ) -*- ca(c 2 -f- a 2 ) — 2a 4 



= (a 2 -h 6 2 -+- c 2 ) (6c h- ca -+- «6) — 2/;a6c — 2x 4 . 

 Mais 



;. 4 = (6c -+- ca -4- a6) 2 — ipabc; 

 donc 



Q = (6c -+- ca -+- a6) (a h- 6 -+- c) 2 — 4 (6c -4- ca -4- a6) 2 -4- Gpabc; 



et, par les valeurs trouvées précédemment (15) : 



Q = 4[p 2 (4Rr -4- r* -4- f) — (4Rr -+- r 2 -4- pj -4- GRrp 2 ] ; 



ou enfin 



Q = 4r [(2R — r)f — (4R -4- r) 2 rj. 



Conséquent ment, 



ÎU 2 -+- ÏIÏ 72 ^ 8 ^Ç- [(2R — r)p 2 - (4R -4- r)V]. . (51 ) 



29. Remarques. — I. Le premier membre étant la somme 

 de deux carrés, la fonction 



(2R — r)p 2 — (4R-4- rfr 



ne peut être négative. 

 IL Quand le triangle est équilatéral, cette fonction est nulle (*)• 



C) La réciproque n'est pas vraie. Je trouve que, si les points de Brocard 

 coïncident avec le centre I, les angles A, B, C satisfont à la condition 



1 = cos 2A cos 2B -4- cos 2B cos 2C-4- cos 2C cos 2A — 2 cos 2A cos 2B cos 2C 



2* 



