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34. (Suite.) L'inspection de la figure donne les égalités 



a' sin B = x sin «' , a" sin C = a: sin a", . . (62) 

 6' sin C = ?/ sin (3', b" sin A = y sin p", . . (63) 



c « a' sin B -+- x cos a' = 6" cos A -+- y cos (3", . (64) 

 u v c 



sin p" = sTnT' = sin (a' -+- p") ^ ' ' ' (65) 



Soit 9 la valeur commune des trois rapports. Soit R c le rayon 

 du cercle circonscrit au triangle AMB. Il est visible (et connu) que 



c = 2R c sinAMB = 2R c sin(a' -+- p") . . . (66) 



Donc 



â = i>R c ; 



puis 



6" sin A 

 u = 2R C sin S" = 2R C .... (67) 



y 



On a 



a' sin B c — b" cos A c — a'sinB 6" sin A 



sin (a' -f- p") = h 



x y x y 



4 



= — \c(a' sin B -+- 6" sin A) — a'b" sin Cl, 



ou 



sin (a' -h &") = — \ba' + ab" - a'b"]. 

 abxy L 



Le trinôme est réductible à ab" -+- a'b'. Donc 



sin (a' -*- S") = ■ ; .... (68) 



X .V 



. f) Comme 



C 2 = ii 2 -+- V* -+- 2«V COS (*' -+- 0") , 



on trouve une identité qui, étant écrite ainsi : 



sin 2 x ■+- sin 2 y -h 2 sin a; sin y cos {x -f- y) = sin 2 {x -+- y) , 

 peut être utile. 



