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d'où, par permutation circulaire, 



OT c AB OA BB,.BB, OT n BC OB CC, . CC S 



OT ft CA OB CC, CC, ' OT c AB OC AA,.AA 2 ' 



Ces trois dernières égalités peuvent se mettre sous la forme 

 suivante : 



AA,.AA 2 OT„ BC BB,.BB 2 .OT 6 .CA CC,.CC OT c .AB 



(XI). = — : = — : - . 



; OA OB OC 



19. Si les tangentes aux points A, B, C sont parallèles, on 

 a les proportions 



OT,, = OX , = OT e 

 OA OB OC 



et les relations (XI) deviennent 



(XII). AA, . AA 2 . BC = BB, . BB, . CA — CC, . CC, AB. 



Faisons maintenant tendre la direction des sécantes AA, , 

 BB,, CCi vers la direction commune des tangentes en A, B, C. 

 Appelons A 2 , B 2 , C 2 les points qui tendent vers A, B, C, et 

 p\ * pn > pc les rayons de courbure en ces derniers points. Les 

 égalités (XII) donnent, à la limite, 



?A A A, . BC = Pb . BB, . CA = Pc . CC, . AB . . (27) 



On vérifie, d'ailleurs, facilement que 



AB . CC, +- BC . AA, -t- CA . BB, = 0. 



Cette relation, combinée avec les égalités (27), conduit à la 



formule 



1 I 1 

 (XIII) --*- - -*-- = 0. 



?\ Pc Pc 



De là, cette propriété, qui n'est d'ailleurs qu'un cas parti- 

 culier du théorème de Reiss : 



Si les tangentes en trois points colinéaires d'une cubique sont 

 parallèles, la somme des courbures en ces points est nulle. 



