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Or, si 9 2 est le point d'intersection de AT 2 avec BB, , B est le 

 milieu de 6,82. Nous pouvons donc énoncer le théorème suivant : 

 Par un point quelconque B, pris sur une cubique crunodale, 

 on mène une sécante rencontrant la courbe en B,, B 2 et telle 

 que le segment 9i 9 2 de cette droite compris entre les tangentes au 

 point double A soit divisé par le point B en deux parties égales. 

 La parallèle à BB 4 , menée par le point A, rencontre la courbe 

 en Ai. Cela posé, les rayons p A , et p A2 des cercles osculant la 

 cubique au point double A, tangentiellement aux droites A9j 

 et A9 2 , seront donnés par les formules 



A s, . AA 4 Ae 2 . AAj 



Pai = Ati D ft — :r" — : i PA2 = 



AB . Bj04 . B 2 04 . sin y ' AB . Bi^. B 2 2 . sin y ' 



(/a»s lesquelles <p #>'£ l'angle de AB eJ de AA t . 



Corollaire. Si l'on divise l'une par l'autre les deux relations 

 ci-dessus, on a 



Aô, Bjô, . B 8 0- o A , 

 (XXXIX). . . . ■=—• — — - = — • 

 A3 2 ^i 9 i • ^i p A2 



Cherchons les cubiques pour lesquelles p Al = p A2 . Or, si w, 

 et w 2 sont les angles des tangentes au point double avec la 

 droite qui joint ce dernier point au point d'inflexion , on a, en 

 vertu du théorème de Beiss, 



1 1 



p Al sin 3 co, p A2 sin 5 Q 2 



Par suite, si p Ai = p A2 , les angles 0)4 et w 2 doivent être égaux ou 

 supplémentaires. Ainsi : 



Dans les cubiques crunodales pour lesquelles le point d'inflexion 

 réel appartient à l'une des bissectrices de l'angle des tangentes 

 au point double, on a, en chaque point , la relation suivante : 



(XL) 



—3 — ; 



A0 t A0 2 



B l 9 l .B i o l B^.Bafla 



