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quadrilatère trireclangle toutes les constructions planes fonda- 

 mentales; 



2° Exposer par les méthodes mêmes de transformation 

 qu'emploie la géométrie analytique euclidienne, la classifi- 

 cation des coniques et quadriques dans les espaces non eucli- 

 diens, en signalant brièvement leurs propriétés les plus 

 caractéristiques; 



3" Démontrer enfin la généralité de ce théorème : Chacun 

 des trois espaces : riemannien, euclidien ou lobatcJiefskien, 

 renferme des surfaces à courbure constante dont les lignes géodé- 

 siques ont les jiropriétés jnétriques des droites des autres espaces. 



M. Story * s'était déjà occupé des coniques non euclidiennes, 

 et, les envisageant dans leur rapport avec le cercle réel ou 

 imaginaire de l'infini, « the absolute conic », avait jeté les 

 fondements d'une première classification. Notre travail con- 

 firme et complète le sien. 



Les coniques du plan riemannien sont des courbes parfai- 

 tement analogues aux coniques sphériques euclidiennes, et ce 

 sont aussi, dans l'espace, des coniques sphériques particu- 

 lières ; on peut ainsi a priori se rendre compte de leur aspect. 

 Pour se représenter celui des coniques du plan lobatchefskien, 

 imaginons une sphère, un point Q de la surface, et l'hémisphère 

 qui entoure ce point pris pour centre. Appelons à. son rayon 

 sphérique, et autour de Q décrivons également le petit cercle 

 de rayon sphérique égal à |, que nous appellerons cercle 

 limite relatif à Q \ le cône circonscrit à la sphère suivant ce 

 petit cercle a son sommet en V; un observateur placé en V 

 voit la calotte sphérique intérieure au cercle limite, et entou- 

 rant Q, tandis que le reste de l'hémisphère lui est caché; donc 

 la perspective d'une courbe de l'hémisphère, faite sur le plan 

 de contact, offrira un dessin composé, ou entièrement de 

 lignes pleines, ou entièrement de lignes ponctuées, ou partie 

 de pleins et partie de ponctués, suivant les conventions ordi- 

 naires du trait graphique. 



* American Journal of Math., 188:2, pp. 358 et suiv. 



