Imaginons maintenant que ce même dessin soit reganh'; par 

 un observateur debout sur son pian, et d'assez petites dimen- 

 sions pour que le cercle limite disparaisse pour lui dans 

 l'éloignement comme s'il avait un rayon infiniment grand; 

 nous montrerons que, grâce à un système de représentation 

 particulier, l'aspect que prend pour lui ce dessin est précisé- 

 ment celui qui peut être donné aux courbes lobatchefskiennes. 



Les calculs que nous avons eu à développer sont de deux 

 sortes : les premiers sont spéciaux au plan lobalchefskien, et 

 dans les formules employées, les sinus et cosinus hyperbo- 

 liques sont désignés par les notations usitées depuis Kiccati, 

 sh, ch ; les calculs de la seconde sorte peuvent s'appliquer 

 indifféremment, ou moyennant une légère variante, aux deux 

 plans non euclidiens; nous les avons donc opérés dans un 

 seul système de géométrie, le système riemannien, par consé- 

 quent les notations sin, cos désignent invariablement des 

 fonctions circulaires. Quand le résultat d'un calcul ne sera 

 suivi d'aucune mention spéciale, c'est que pour le traduire en 

 langage lobatchefskien, il suffira de substituer simplement les 

 fonctions hyperboliques aux fonctions circulaires, et nous 

 laisserons au lecteur le soin de faire lui-même cette substi- 

 tution. Mais quand le passage d'un système de géométrie à un 

 autre entraînera un changement de forme dans le résultat, 

 nous l'indiquerons expressément. 



I. - QUADRILATERE TRIRECTANGLE, CONSTRUCTIONS 

 FONDAMENTALES. 



2. Quadrilatère trirectangle lohatcliefskien. 



Soit le quadrilatère trirectangle ABCD (fig. 1) dans lequel 

 nous supposons A aigu, et B = C=D = 1 droit; posons 

 AB = a, BC = />, CD = c, DA = ^; les angles de parallélisme 

 correspondants à ces côtés sont, d'après la notation de Lobat- 

 chefsky, n(a), n(t), n(c), n((/), que nous appellerons plus 



