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la tangente géométrique en entre le point de contact et 

 l'extrémité T du rayon passant par M; en d'autres termes, 



arc OM = sh mM = th OT = cos MTO; 



on déduit de là que e'"* = chmM. Ceci posé, soit OA l'arc 

 d'horicycle de longueur égale à 1 ; nous voyons immédiatement 

 que shaA = l, donc ak égale la longueur remarquable u 

 construite dans l'application a du second cas du quadrilatè -e 

 trirectangle ; et le point A s'obtient en faisant couper l'hoi i- 

 cycle avec un hypercycle {équidistante) ayant oa pour axe et 

 pour équidistance u; d'ailleurs on a aussi th 0R = 1, ce qui 

 prouve que le rayon de l'extrémité A est parallèle à la tan- 

 gente OR de l'autre extrémité 0. 

 Enfin, 



eO« = l/2 ou thO« = -; 

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on pourra donc, comme nous allons le montrer un peu plus 

 loin, construire Oa, puis élever à son extrémité a la perpendi- 

 culaire a\ de longueur égale à u. 



La question qui se pose maintenant est donc celle-ci : 

 Puisqu'on ne peut construire une longueur rectiligne égale 

 à K, peut-on construire des longueurs qui en approchent suffi- 

 samment? La réponse, comme nous le verrons, est affir- 

 mative. 



Prouvons d'abord qu'il est possible de déterminer tous les 

 triangles dont les côtés ont des fonctions hyperboliques 

 commensurables, et les angles, des fonctions circulaires aussi 

 commensurables. Si nous imaginons une ligne brisée régu- 

 lière AqAjAs ... A,„ dont les côtés sont égaux à 2m et sont 

 successivement perpendiculaires, si nous prenons ensuite les 

 milieux B^Ba ... B^ des diagonales AqAi, AoA,, ... AoA„, nous 

 savons, d'après les propriétés de Thoricycle, que 



sh AqB^ = 1 , sh A0B2 = 2, sh AqB^ = m 



