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 donc si nous construisons la longueur nouvelle wâp+i telle que 



i 



sht/ip + i = sht/2p + i -4- 



(2/) -+- 1)! (2p -+- i)(2/? + 3) 



nous aurons 



sh Mjp + 1 < sh A: < sh w^p + , 



et 



w«p + i < ^ < w^p + i; 



W2p+i croît avec j9, tandis qu'évidemment u\j,^z est inférieure 

 à w'sp+i; donc les deux suites de longueurs 



Ml Ws "sp+i, wi wj W^p + i 



ont une limite commune qui n'est autre que K. Si l'on prend 

 Mgp+j comme valeur approchée par défaut de cette limite, 

 l'erreur est moindre que la longueur k^^i qui a son sinus 

 hyperbolique égal à 



\ 



car on a 



["Ip -\- 1)!(2p H- l)(2p -f- 3) 



IL — PLAN, COORDONNÉES, DROITE ET CERCLE. 



4. Les zones du plan. 



Soient une origine prise à volonté, et M un point donné 

 sur le plan; le segment OM = p a pour tangente un nombre 

 qui, dans le cas de la géométrie riemannienne, peut prendre 

 toutes les valeurs algébriques de — oo à -t- oo , et dans le cas 

 de la géométrie lobatchefskienne, toutes les valeurs comprises 

 entre — 1 et -4- 1 ; donc si M est réel et donné, tg p et th p n'ont 

 chacun qu'une seule valeur. 



