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Il en est autrement quand tgp ou th p est donné. Envisageons 

 d'abord le cas où l'on a tg p = m, m étant réel ; une infinité de 

 valeurs de p, de la forme a -+- kv, satisfont à cette équation ; 

 nous nous bornerons à envisager celle, désignée par a, qui en 

 valeur absolue est inférieure ou au plus égale à ^, et a même 

 signe que m; le lieu des points tels que p == a est le premier 

 hémiplan, qui est limité par l'équateur de centre 0. Le cercle 

 limite de rayon J partage en outre l'hémiplan en deux zones, 

 l'une intérieure et renfermant 0, l'autre extérieure. A tout 

 point M de celle-ci on peut faire correspondre un point 

 unique et déterminé N de la première, en portant sur MO 

 et dans le sens même de cette droite, à partir de M, la lon- 

 gueur MN égale à ~. Si l'on pose ON = p', on a 



, _ i _ ^ 



Pour étudier ce qui se passe sur le plan lobalchefskien, 

 il faut se souvenir que l'équation Ih p = m a une seule racine 

 réelle si m^ < 1, aucune quand m^ > 1. Soit d'abord la pre- 

 mière hypothèse; la solution réelle unique étant désignée 

 par tty valeur qui a même signe que m, les autres sont toutes 

 imaginaires, et de la forme a ■+- kxi; de là une zone réelle 

 indéfinie s'étendant du point au cercle limite de rayon 

 infiniment grand qui a pour centre, et des zones imagi- 

 naires de différents ordres; par exemple, dans celle d'ordre k, 

 p = a -+- kyri varie de kH à oo ; appelons-les zones pseudo- 

 réelles. 



Lorsque m^ est plus grand que 1, déterminons le point réel 



unique N tel que 



\ 



th p = — > 

 m 



et faisons a' = ON ; toutes les valeurs de p' ayant la forme 

 a' -+- kyri, toutes celles de p ont la forme 



p = a H H kiti, 



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