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dans laquelle a' peut varier de — oo à -+- oo ; donc, pour 

 obtenir un des points répondant aux différentes valeurs de p, 

 nous conviendrons d'ajouter au segment ON, dans le même 

 sens que lui, une longueur NM' égale à |, et de dire que OM' 

 représente le rayon idéal a' -4- |^. Pour cette raison, M' est 

 également la représentation réelle du point idéal M; aussi 

 quand N décrit la zone réelle, M décrit la zone îY/^'a/^ comprise 

 depuis le cercle limite jusqu'au cercle de rayon ^ ou équateur 

 idéal du plan; nous supposerons que ces zones se font suite, 

 et que leur réunion forme le premier feuillet du plan, et nous 

 nous }3ornerons à l'étude des points qu'il renferme. En résumé, 

 l'équation th p = m donne sur ce feuillet, si m^ est < 1, un 

 point unique réel, et si m^ est > 1, un point unique idéal 

 représenté par convention par un point réel; le lieu géomé- 

 trique de ce dernier est donc la figuration conventionnelle du 

 lieu idéal que décrit le premier, et nous le dessinerons en 

 points, comme si le feuillet était effectivement divisé par un 

 écran dressé le long du cercle limite, et qui cacherait la zone 

 idéale aux yeux de l'observateur debout en sur le plan. 



5. Cooidonnccs. 



Les systèmes de coordonnées qui se prêtent le mieux aux 

 calculs sont les coordonnées polaires, les coordonnées recli- 

 lignes et les coordonnées trilinéaires, et l'on passe facilement, 

 comme sur le plan euclidien, du premier système au second. 

 Soient en effet M un point du plan riemannien, OL la direction 

 positive du segment p = OM, ox, oy les directions positives 

 des axes rectilignes x'x, y'y se coupant en 0, et OD une direc- 

 tion arbitraire du plan; on a l'identité 



sin rr,î/ cos D,L -♦- sin 2/,L cos a:, D -^- sin L,a: cos î/,D = (5) 



entre les angles orientés positivement que toutes ces directions 

 font entre elles; si l'on pose 



siiiLjV . sinXjL . 



SU) /5, y =-: sm p, z = cos p (4) 



smar, 2/ suix,?/ 



