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X, y et z sont les coordonnées reetilignes du point M, et un 

 système de valeurs de ces quantités détermine bien ce point. 

 La relation (3) peut alors s'écrire sous la forme 



sin |9 cos D, L == a; cos x, D -*- t/ cos t/, D . . . (5) 



qui renferme toutes les transformations linéaires ; de plus, en 

 posant ic, ^ = 0, on a 



2^' 4- ac' -*- y' -+- 2a;t/ cos 6 ^ 1 . 



Dans le cas particulier de = 2» ^» 2/» ^ sont les coor- 

 données même employées dans le travail de M. Gérard, et sur 

 le plan lobatchefskien, on aurait la relation générale 



z'^ — (x* ■*- i/' -*- 2x1/ cos e) ^ 1 . 



On tire aisément de là formule (5) les équations des chan- 

 gements de coordonnées, soient : 



Pour la rotation a du système rectangulaire xoy autour de o, 



flc = x' cos a — y' sin a 



y s=s x' sin a. -¥■ y' cos a (a) 



z = z' 



et pour la translation de l'origine de la longueur d suivant ox, 

 X ^ z' s\n d -¥- x' cos d 



z = z' cos d — x' sin d 



les formules (a) s'appliquent aux deux plans non euclidiens; 

 et les formules (b') du plan lobatchefskien sont 



X = z' sh d -^ x' ch d 



Z = z' chd -i- x' sh d. 

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