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ou, R et p désignant les rayons respectifs du cercle circonscrit, 

 et de son concentrique, 



^ a^^^ tg'R / cos%\ 



2ls-YZ ^- 1 =0. . (14) 



•"52 a c \ cos^Ry 



4tg- tfif- tff- 

 2 2 2 



Pour l'extension, à la géométrie non euclidienne, des pro- 

 priétés des cercles associés au triangle, nous ne pouvons que 

 renvoyer le lecteur à l'ouvrage si connu de W. Salmon, Géo- 

 métrie à trois dimensions, § 259, et au Bulletin du congrès de 

 VA. F. A, S. (189o, Bordeaux) dans lequel nous avons publié 

 une communication sur la géométrie sphérique. Nous nous 

 bornerons à citer la généralisation du théorème de Feuerbach 

 sous la forme suivante : 



Soient AiBiC, les milieux des côtés de ABC, le centre du 

 cercle circonscrit, H l'orthocentre, G le point de rencontre des 

 médianes, I le point inverse de 0, qui est aussi à l'intersection 

 des perpendiculaires abaissées de A sur BjCi, B sur CiA,, et G 

 sur AiB,, K le point inverse de H; les droites GH et IK se 

 coupent en un point Q qui est le centre d'un cercle tangent 

 aux quatre cercles inscrits et exinscrits du triangle ABC. 



D'ailleurs, si l'on substitue au point A le point opposé réel 

 ou imaginaire A', le cercle inscrit dans le triangle BCA est 

 exinscrit au triangle A'BC dans l'angle A' ; de plus, les éléments 

 correspondants de ce triangle sont : BjCj , axe de l'hypercycle 

 passant par B et C, H' confondu avec H, G' point harmonique- 

 ment associé à G, V rencontre des lignes BI', Cl' isogonales 

 des perpendiculaires B3, Cy abaissées de B et C sur B,C,, et 

 enfin K' confondu avec K ; donc HG' coupe Kl' au point Q' 

 centre d'un nouveau cercle tangent à son tour aux quatre 

 cercles précités; il en existe pareillement deux autres Q" et Q" 

 correspondant à B et C. 



Par corrélation, le cercle circonscrit au triangle, et les trois 

 hypercycles associés qui ont pour axes respectifs BiC, , CjA,, 

 A,Bi, et contiennent chacun deux sommets, sont aussi tangents 

 à quatre cercles. 



