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m. — LIGNES DU SECOND DEGRE, REDUCTION, 

 CLASSIFICATION. 



10. Tangentes, pôles et polaires, directions principales. 



Nous prendrons l'équation générale des lignes du second 

 degré sous la forme homogène à trois variables 



/'(a-,î/,2)=Aa;*-+-Ay^-A'V+2Bî/z-i-2B'za:-t-2B"z.v=0 (i5) 



Xy y y z, étant liées par la relation (coordonnées rectangulaires) 



où £ = 1 s'applique au plan riemannien, et s = — 1 au plan 

 lobatchefskien. 



Ces lignes sont coupées par une droite en deux points au 

 plus, réels, imaginaires, ou idéaux sur le premier feuillet 

 considéré du plan. En leur appliquant les mêmes calculs qu'en 

 géométrie euclidienne, on voit que : 



1« Un point quelconque de l'une de ces courbes admet 

 généralement une tangente ayant pour équation 



x/; -*- yfy -+- zf: = o. 



2° Le lieu géométrique des conjugués harmoniques d'un 

 point donné P {x^ylZ^) du plan sur les sécantes issues de ce 

 point à cette courbe est une droite, nommée jjolaire de P, ayant 

 pour équation 



inversement, nous dirons que P est le pôle de cette droite. La 

 loi de réciprocité exprimée symboliquement par A/, = Ai/'j 

 résume toutes les propriétés des pôles et polaires, comme sur 

 le plan euclidien. 



Nous disons qu'une droite D du plan est une direction prin- 

 cipale de la ligne du second degré C, quand la polaire d'un 



