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point quelconque P de D est perpendiculaire à D, c'est-à-dire 

 passe par le centre réel ou idéal de cette droite. 

 Soient 



ax -*- py -+- eyz = 



réquation de D, et oCiyiZ-i les coordonnées de P. La polaire D' 

 de P doit satisfaire à la condition de perpendicularité 



donc, a, /3 et y sont liées par les relations 



^=^ = /î = S (16) 



a . p ye 



qui, pour toute valeur donnée de S, déterminent a, /3ety, par 

 trois équations linéaires et homogènes ; la nécessité d'avoir des 

 solutions autres que a == 0, /3 = 0, y = 0, conduit à l'équation 



?(S) = 



==0. . (17) 



on sait que pour £ = 1, celte équation du troisième degré a 

 toutes ses racines réelles; mais pour e = — 1, nous verrons 

 plus loin qu'elle peut n'en avoir qu'une. Les racines réelles 

 jouissent des propriétés que voici : 



1° .4 toute racine réelle S, répond une direction principale 

 réelle ou idéale, et une seule D,. 



2» A deux racines distinctes S,S.2 répondent deux directions 

 principales distinctes perpendiculaires entre elles. 



Car d'après les relations (IC) appliquées à chacune d'elles, 

 nous avons 



S^ifao — 2a2/«, = (S. — S,) (a,</2 -4- |3,p.2 -♦- eYir^) =-= 0, 



l'une au moins des deux directions D^ et Dz est réelle quand S, 

 et Si sont réelles. 



