( 31 ) 



Si l'une au moins des racines Si, Sa est imaginaire, l'une au 

 moins des directions est imaginaire. 



3" Toiile dircetion jmvcipale dans un système de coordonnées 

 rest également dans un autre, puisque la polaire d'un point et 

 le centre d'une droite sont des élémcnls invariants; donc les 

 racines de ç(S) = sont des invariants. 



A" Si les polaires de deux points distincts d\ine droite D lui 

 sont perpendiculaires, D est une direction principale. 



Car la polaire de tout autre point de D concourt avec les 

 deux premières. 



Il en résulte qu'un axe de coordonnées sera direction prin- 

 cipale réelle, quand les rectangles correspondants de l'équation 

 (15) auront leurs coetilcients nuls ; cette droite sera donc aussi 

 un axe de symétrie de la courbe; ainsi les lignes du second 

 degré peuvent posséder trois axes de symétrie, et nous verrons 

 que sur le plan de Riemann, tous les trois sont précisément 

 toujours réels; sur le plan de Lobatchefsky, deux sont réels et 

 le troisième idéal, ou un seul est réel, et les autres imaginaires. 



Nous appellerons centre de symétrie le point d'intersection 

 de deux directions principales. Donc les courbes rieman- 

 niennes ont trois centres de symétrie distincts et réels, aux 

 sommets d'un triangle trirectangle. Les courbes lobatchefs- 

 kiennes ont sur le premier feuillet un centre réel et deux 

 idéaux, ou un centre idéal et deux imaginaires. 



5° La même ligne du second degré étant successivement 

 rapportée à deux systèmes d'axes de coordonnées quelconques, 

 on a, d'après l'application de la méthode de Boole, deux 

 équations 



= 0, 



