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Voici donc le détail des divers cas qui peuvent se présenter : 



1« Si et Si sont réelles et de signes contraires, R est négatif, 



n est positif, th p, et th p^ sont imaginaires conjuguées, donc 



et 



2 ^ 



est l'abscisse d'un point réel Q de O'X. 



2" Si et Si sont réelles et de même signe, R et II sont positifs ; 

 thpi etthpâ sont réelles, donc si elles sont comprises ensemble 

 entre — 1 et -*-l, pi et pasont réels ainsi que leur demi-somme 

 p. Si th pi et th p2 offrent vis-à-vis de — 1 et -+- 1 l'une des 

 trois autres dispositions possibles, pi et p^ sont idéaux ensem- 

 ble, et l'on peut prendre 



Pi = P -*- - + fe'Ti, p,= q ^ - -^ kri. 



Choisissons k et k' de façon à avoir fc -+- fc' -f- 1 = 0, il en 

 résulte pi -+- p^ = j^ -+- ^ ; donc 



pi -^ H V -^ q 



2 2 



désigne encore une abscisse réelle se rapportant à un point Q 

 de O'X. 



3° Si et Si sont égales. Il est nul, donc l'une des racines de 

 W = égale 1 en valeur absolue, et donne pour p une valeur 

 correspondante infinie /^-^|^ est alors infinie. 



4» Si et §2 sont imaginaires. Il est négatif, et une seule des 

 valeurs de th p comprise entre — 4 et -+- 1 donne une valeur 

 réelle pi de p; l'autre valeur p2 est idéale, donc '^^-^|^ est imagi- 

 naire. En résumé, c'est le signe de II qui doit régler toute la 

 discussion ultérieure et la façon dont nous allons déterminer 

 la nouvelle origine Q. Les lignes du second degré lobatchefs- 

 kiennnes forment donc trois classes, suivant le nombre des 

 racines de cp(s) ea 0. 



