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et ces relations contiennent, sous forme générale, les théorèmes 

 d'Apollonnius. 



Si nous prenons maintenant pour origine un point quel- 

 conque d'une courbe, et la tangente de ce point pour axe 

 des /y, les polaires de deux points équidistants de sur cette 

 droite forment un système tel que la droite conjuguée harmo- 

 nique de oy par rapport à elles est invariable; en la prenant 

 pour axe des x, la courbe donnée a pour équation 



\x^ -4- y' - 'IBxz == 0, 



et Ton peut y supposer B positif; on voit aisément que ox est le 

 lieu des pôles des sécantes perpendiculaires à la normale en 0. 



14. Conslniclion des lignes du second degré par liomograpliie. 



Une ligne du second degré est déterminée par cinq points, 

 dont trois ne sont pas en ligne droite; par conséquent, 

 connaissant cinq points, on peut se proposer, comme sur le 

 plan euclidien, de la construire entièrement. 



Si deux droites mobilesAMA', BMB'fontavecla droite fixe AB 

 des angles 9, 0', dont les tangentes soient liées par une relation 

 du premier degré, nous pourrons dire qu'elles décrivent des 

 faisceaux homograpliiques, et que leurs traces sur deux droites 

 quelconques du plan décrivent aussi des divisions homogra- 

 phiqiies. Moyennant ces définitions, nous prouverons que : 



1° Si M, point mobile d'une ligne du second degré, est joint 

 à deux points fixes A, B de cette ligne, AM, BM sont les 

 rayons correspondants de deux faisceaux homographiques; 



2" Réciproquement, le lieu du point M de rencontre des 

 rayons correspondants AMA', BMB' est une ligne du second 

 degré passant par A et B. 



i\insi les procédés de description organique dus à Newton, 

 Mac Laurin, Braikenridge s'appliquent très bien aux plans 

 non euclidiens. 



11 en est de même des théorèmes généraux de Pascal et 

 Brianchon, avec leurs conséquences les plus immédiates. Toute- 



