( 88 ) 



fois, il faut remarquer que l'application sew/e de ces théorèmes 

 serait insuffisante pour construire tous les éléments de la 

 ligne du second degré proposée ; en effet, construire signifie, 

 pour nous, effectuer les opérations élémentaires à la règle et au 

 compas; or l'analyse nous a montré que la détermination des 

 axes de symétrie et centres de la ligne dépendait d'une équation 

 du troisième degré; donc, en général, leur construction ne peut 

 s'effectuer; mais nous rencontrerons des cas particuliers où 

 l'on sait aller jusqu'au bout. 



a) Le premier est celui où Von donne en grandeur et position 

 deux diamètres conjugués OM = a', 0M| = b' ayant pourpoint 

 de départ le centre réel 0. 



1° Ellipse réelle. 



L'équation même (23) prouve déjà la possibilité de déter- 

 miner autant de points de la courbe qu'on voudra au moyen 

 de deux cercles concentriques de rayons égaux aux demi-axes 

 a,b;de plus, OM et OM^ sont les projections des rayons rectan- 

 gulaires OP, OP4 du cercle de rayon a. Nous démontrerons le 

 théorème suivant (tig. 15) : 



Si l'on prend sur OP /a longueur ON = a -*- b, ^/ sur sa symé- 

 trique OP' par rapport à OA la longueur ON' = a — b, les trois 

 points N, M, N' sont en ligne droite, et cette droite, qui est la 

 normale en M, a pour milieu M. 



Les coordonnées de M étant 



a; = z tg a eos f, y = zi^b sin f, 



celles des points N, N' sont 



X = Z Ig (a -t- 6) cos f, X' = Z' (g {a — b) eos f, 



Y = Z te; (a -H 6) sin f, Y' = — Z' tg (a ~ b) sin » ; 



donc le milieu de NN' = 2/ a pour coordonnées 



sin a cos 6 cos 5J sin 6 cos a sin ^ cos a cos è 



x = x » v = A » z = X — . 



cos l cos t cos / 



