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construire OH et OH' perpendiculaires sur 0M| et OM, puis 

 MT perpendiculaire sur OH, et M^T^ perpendiculaire sur OH'; 

 soit P leur intersection, tirons OP, abaissons OK perpendicu- 

 laire sur MM.1, puis OP' perpendiculaire sur OK; les axes ox, 

 oy sont les bissectrices des angles de OP et OP'. Soit mainte- 

 nant P' la rencontre de la dernière de ces droites avec la 

 tangente MT; on sait, d'après le second théorème d'Apollon- 

 nius, que th OP X th OP' == C^ donc si l'on prend OQ = 2 OP 

 et 0Q' = 20P , qu'on fasse passer un cercle par Q et Q', qu'on 

 lui mène la tangente OS, qu'on prenne sur OP la longueur 

 OD = { OS, et enfin, qu'on projette D en A sur ox et en B sur 

 oy^ A et B seront les deux sommets réels des hyperboles 

 (H) (H'). 



b) Le second cas particulier est celui où Von connaît en posi- 

 tion un diamètre de la courbe à construire. Soit YY' ce diamètre 

 (fig. 17). De deux points donnés A, D de la courbe, tirons les 

 cordes AB, DE perpendiculaires sur YY', et cherchons leurs 

 deuxièmes extrémités B, E, puis, par le moyen des tangentes 

 en A et B, D et E, les pôles T, S de ces cordes; la droite TS 

 est la polaire du point de rencontre de AB et DE, donc TS est 

 un second diamètre de la courbe, et ici trois cas vont se 

 présenter : 



l'' YY' et TS se rencontrent en un point réel 0. est le 

 centre réel de la courbe qui est une ellipse ou une hyperbole; 

 soit m le point de rencontre de OT avec AB, et F son point 

 de rencontre avec la courbe : 



th'OF = thOT X IhOm; 



donc F peut se construire; de plus, nous avons une ellipse si 

 m est entre et T, une hyperbole en cas contraire; enfin la 

 tangente en F est perpendiculaire à YY'. 



Soit de même XX' passant par et perpendiculaire sur TS; 

 tirons la corde AC perpendiculaire sur XX'; son pôle T' est à 

 la rencontre de AT avec le diamètre T'S' conjugué de TS, et 

 la longueur OF' de ce nouveau diamètre se construit égale- 

 ment; ceci ramène donc au cas particulier a). 



