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16. Foyers, cercles focaux et direclrices. 



Appelons cercle focal tout cercle bitangent à une ligne du 

 second degré, et directrice correspondante la corde des points 

 de contact. Les lignes à centre réel adniellent trois systèmes 

 distincts de ces cercles, ayant leurs centres sur les axes de 

 symétrie ; les directrices correspondantes sont perpendiculaires 

 à ces mêmes axes. Par exemple, dans l'ellipse, on rencontre 

 une première série de cercles intérieurs ayant leurs centres 

 sur l'axe majeur; il y en a une seconde formée de cercles 

 enveloppant la courbe et ayant leurs centres sur le petit axe; 

 enfin la troisième est constituée par des hypercycles ayant 

 pour axes les diamètres qui passent par le centre réel inté- 

 rieur, et leurs directrices sont des diamètres de même sorte. 

 Dans rhyperbole, la première série renferme les cercles qui 

 ont leurs cenires sur l'axe transverse et sont intérieurs aux 

 branches de la courbe; la seconde est composée de cercles 

 ayant leurs centres sur l'axe non transverse et touchant les 

 deux branches; enfin la troisième est constituée aussi par des 

 hypercycles. 



Les paraboles et horiconiques n'ont qu'une seule série de 

 cercles focaux réels ayant leurs centres sur l'axe de symétrie 

 unique. 



Les cercles focaux de rayons nuls porteront le nom de foyers ; 

 on voit par ce qui précède que les premières courbes ont 

 seulement deux foyers réels à distance finie; les paraboles ont 

 un seul foyer réel et un autre idéal ; enfin les horiconiques 

 ont un foyer sur le cercle limite; l'autre peut être réel, limite 

 ou idéal. 



Ces éléments géométriques ont, d'une manière générale, les 

 propriétés que voici : 



Le rapport des sinus (distances circulaires ou hyperboliques 

 suivant l'espèce de géométrie) de tout point de la courbe à un 

 foyer et à sa directrice est constant. 



La somme alyébriijue des distances de tout point de la courbe 

 à deux foyers de même série est constante. D'une façon plus 

 générale même, les lignes du second degré sont les lieux 

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