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ïiiÉORÈMK H. La projection stéréographique de tout cercle 

 d'une sphère, au moyen d'un tableau et d'un point de vue conve- 

 nables, est un cercle, et réciproquement. 



Soit SE un cône déterminé par le sommet S et le cercle E 

 pris pour base; abaissons Ss perpendiculaire sur son plan» le 

 plan conduit par Ss et le centre du cercle coupe celui-ci 

 suivant le diamètre AB; si par A et B on mène une circon- 

 férence quelconque Y coupant SA et SB en a et b, le plan 

 perpendiculaire à SiO et qui a pour trace ab coupe suivant la 

 même courbe le cône proposé et la sphère qui a F pour grand 

 cercle, donc enfin ce plan coupe le cône suivant un cercle. 



Ceci posé, soient (fig. 20) la sphère donnée, V le point de 

 vue intérieur ou extérieur, suivant que l'on raisonne en 

 géométrie riemannienne ou en géométrie lobatchefskienne. 

 La figure est faite dans la seconde hypothèse, en prenant pour 

 plan de symétrie le plan du grand cercle passant par V, et 

 perpendiculaire au plan du petit cercle projeté MN. Traçons 

 DE' perpendiculaire à VD au point D tel que 



l/cli^VO — cir^R 



Ih VI) = ; ; 



sh VO 



DE est la trace du plan du tableau choisi, plan transformé 

 par inversion de la calotte sphérique CBCi; il s'ensuit que le 

 quadrilatère MNM'N' est inscriplible, et que le cône perspectif 

 VMi\, ayant pour base le petit cercle donné, est coupé par le 

 tableau suivant le petit cercle de diamètre M'N'. Soient de 

 plus : S, sommet du cône circonscrit à la sphère suivant MN, 

 et S' sa perspective, CH la polaire de V; le point E, rencontre 

 des lignes CH et MN, est le pôle de VS; donc 



sh'R I 



tgFVH.tgEVH = tg^CVH = 



sh^VO — sh''R sh'VD 

 au 



thDS'.thDE'= 1, 



