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qui satisfont à la condition 



r — X' — Y^=1, 



et que nous appellerons les coordonnées hypersphériques de m. 

 Mais dans le quadrilatère 0|JLm{JL',la somme angulaire, égale 

 à celle du quadrilatère plan Si(ji|N|jl;, qui est sa projection sur 

 le plan fondamental, est toujours inférieure à quatre droits; 

 donc la trigonométrie des figures qui sur l'hypersphère sont 

 formées d'arcs d'hypercycle est identique à celle du plan 

 lobatchefskien, qui n'est en réalité qu'une hypersphère à équi- 

 distance nulle; il en résulte que si Ton convient de définir les 

 sinus, cosinus et tangentes hyperboliques des arcs d'hyper- 

 cycle comme ceux de leurs projections rectilignes sur le plan 

 fondamental, on a 



X 



X = sh iu[^ = sh fx!m - = th Sj/^, = th O^u, 



ù 



Y = sh /a,N = sh [x.m, 

 Z = ih NS 

 et l'équation plane 



de (M) se transforme en une équation analogue 



F(X,Y,Z) = 



qui représente à la fois la conique plane lieu de N sur le plan 

 fondamental, et la courbe hypersphérique lieu de m. 



Ainsi la géométrie analytique de l'hypersphère est identique 

 à la géométrie plane lobatchefskienne. 



20. Sections planes du canal de révolution. 



Quand on fait tourner un hypercycle autour de son axe, la 

 surface engendrée est le lieu géométrique des points de l'espace 

 équidistanls de cet axe; nous l'appelons hyperajdoïde de révo- 

 lution ou canal de révoliUion à axe rectiligne *. Tout plan cou- 



* Clifford [Malh. Papers. London, 1882.), qui paraît avoir envisagé 

 le premier celle surface, el M. Veronese (Fundamenti di Geometria, 



I 



Z = ih NS, = ch Om - = ih S,ya; = ih Of^', 



Là 



