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suivant la direction positive Ox, on a, suivant l'espèce de 

 géométrie adoptée, 



X = u' sin d -\- x' cos d 



y = y' 



z =z' 



w = m' cos rf — x' sin d 



i 



ou ( 



oc = zi' sh rf -H x' eh r/ 



z=z' 



u =^ u' ch d -\- x' ûi d. 



22. Problèmes élénienlaires sur le plan. 



La distance de deux points M^ M^ est exprimée par la for- 

 mule 



cos MjMs 

 ch M.M., 



= t^iWa -+- ^(^4X2 -\- y^y^i + Zj^z^ . . (31) 



et nous appellerons plan le lieu des points M tels que, M4 

 étant donné, le premier membre de cette équation soit nul ; 

 donc l'équation générale du plan a la forme homogène linéaire 



Ax -+- Bî/ -4- Cz -*- Dm = 0, 



et les coordonnées ^4,1/4, Zj^, u^ de son centre M4 sont définies 

 par les relations 



Xi î/i Zt u, \ 



M, 



De 



=t \/e{\' -*. B^ -^ C^j + D^ 



La droite OM4, perpendiculaire au plan, le perce en un point 

 P dont la distance OP à l'origine est donnée par 



tb p 



D 



=t 1/a^ -^ B^ -+- C^ 



donc le plan admet toujours des points réels dans l'espace 

 riemannien; pour qu'il en admette dans l'espace lobatchefskien, 

 il faut que tir]; soit inférieur à 1 ; de là trois cas à distinguer : 

 1° A2 -+- B2 -+- C'^ — D2>0; le plan a des points dans 

 l'étendue réelle; il a aussi des points sur la sphère limite à sa 



