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 et dont deux seulement doivent être retenues : 



m tn Tzi 



d. = — réelle, di = — ±i — idéale, 

 2 2 2 



le signe du second terme étant celui de m. Donc D et D' ont 

 dans l'espace lobatchefskien une perpendiculaire commune 

 réelle et une seule, et le segment limité aux deux droites 

 mesure le minimum de distance réelle; il y a une seconde 

 perpendiculaire commune idéale qui est réciproque de la 

 première. 



Dans l'espace riemannien, si tg 2rf est déterminée, ce qui est 

 le cas général, on a aussi deux valeurs de d à retenir : 



m m TT 



a, = — > (L=^ — ± - 

 2 2 2 



suivant le signe de m; réelles et distinctes, elles déterminent 

 donc deux perpendiculaires communes réelles et distinctes, 

 réciproques Tune de l'autre, et comportant l'une un minimum, 

 l'autre un maximum de dislance entre D et D'. 



Mais il peut arriver que Ton ait à la fois b =^ o,a = c\ dans ce 

 cas particulier, tg 2rf est indéterminée ainsi que d\ plar suite, 

 toute perpendiculaire abaissée d'un point de D sur D' est nor- 

 male commune aux deux droites et a une grandeur constante, 

 la réciproque ayant lieu. D et D' sont des droites équidistantes 

 ou d'égale distance. Les plans conduits par l'une quelconque 

 des normales communes et les deux droites font aussi entre 

 eux un angle dièdre constant dont la mesure est la même que 

 celle de la dislance invariable des droites. Voici les applications 

 les plus immédiates de cette proposition : 



1° Étant donnés une droite AB et un point extérieur C 

 (fig. 27), on peut mener par C deux droites équidistantes 

 de AB, et deux seulement. Pour cela, il faut tirer CA perpen- 

 diculaire à AB, et, dans le plan perpendiculaire à AC conduit 

 par AB, tracer les droites Ao, ko' faisant avec AB les angles 

 SAB, 5'AB, dont la mesure riemannienne égale celle de CA; les 



