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déterminent successivement S, a, [3, y et 3, et par suite la 

 position du plan principal P; nous discuterons plus loin 

 l'équation (34); admettons actuellement qu'elle ait des racines 

 réelles, nous prouverons que : 



1° à toute racine réelle S^ répond un plan principal et un 

 seul, P,, réel ou idéal ; 



2« à deux racines réelles distinctes S,, Sg, répondent deux 

 plans principaux distincts Pi, P2, perpendiculaires entre eux; 

 l'un au moins de ces plans sera toujours réel ; 



3° tout plan principal dans un système de coordonnées l'est 

 aussi dans un autre, donc les racines de l'équation (p(S)ï=0 

 sont des invariants ; 



4° si les plans polaires de trois points quelconques de P, 

 non en ligne droite, sont perpendiculaires à P, ce plan est 

 principal ; donc un plan de coordonnées rectangulaires sera 

 principal si les rectangles correspondants de l'équation (33) 

 font défaut; visiblement ce plan est aussi un plan de symétrie; 

 donc les quadriques pourront posséder quatre plans de symé- 

 trie, tous réels dans l'espace riemannien, et dont deux au 

 moins, comme nous le prouverons, sont réels dans l'espace 

 lobatchefskien. 



Si les trois points choisis sur P étaient en ligne droite, le 

 raisonnement précédent serait en défaut ; effectivement, soit D 

 cette droite; les trois plans polaires se coupent suivant une 

 droite D' conjuguée et orthogonale à D. Deux cas peuvent se 

 présenter : 



a) D et D' ne sont pas réciproques. Soit ww' la perpendicu- 

 laire commune ; appelons p. et "k les centres réels ou idéaux 

 de ww' dans les plans Dww' et D'ww' ; le plan XwD coupe la 

 quadrique suivant une conique ayant pour axes de symétrie 

 D et Xw; de même le plan {jlw'D' la coupe suivant une seconde 

 conique dont les axes sont D' et [aw' ; par suite Dww' et D'ww' 

 sont les plans polaires respectifs de \ et [x, et sont deux plans 

 principaux rectangulaires ; d'ailleurs les plans polaires des 

 points de D sont normaux à la réciproque D" de D', ligne 

 toujours réelle en même temps que D ; D et D" sont ensemble 



