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indépendantes, des n variables. On sait que pour e = -♦- 1 

 toutes les racines de cp{S) = sont réelles; il n'en est plus de 

 même pour e = — 1 ; en effet, en posant S = a -h j^i, et en 

 désignant par P^, Q^ des fonctions linéaires à coefficients réels, 



/■- S^ = / - (a + pi}i> = 5:î(I\ -+- Q,i)\ 

 donc 



- P4; = 2S{P,0a. 



Si le système d'équations linéaires indépendantes Pi = 0, 

 p2 = 0, ... Pk== admet des solutions qui annulent aussi ^, 

 p n'est pas nécessairement nul; donc, pour e = — 1, l'équa- 

 tion (36) peut avoir des racines réelles et des racines 

 imaginaires; il y a même des cas où elle n'a que des racines 

 imaginaires, ainsi que le prouve l'exemple particulier 



f=='2yz — 2mx, ^ = x^ -^ y''~ z' — M^ ^(S) = (s' -^ \ f. 



Admettons qu'elle ait q racines réelles S„ Sa, ... S,, distinctes 

 ou non; si q est plus grand que p, nous les rangerons en 

 deux groupes, le premier contenant Si ... Sp, et le deuxième 

 s'étendant de Sp + i à S,. Formons la substitution (X) 



X, = oi^x'i ■¥■ pix'i -f- -+- A,X^, 



X^ = a^x[ -+- Pa-r; -t- -+- >.^x'„, 



W \ 



„ == a„x\ -H (3„x; -♦- -+- X„x'n 



dans laquelle nous soumettons les coefficients aux conditions 

 préliminaires (deux groupes) 



a? + al + ..... 4 -t- £(aj+, -f- + «^ = i (de 1 à p\ 



xl-^\l-h 4 - <;J+, -+- .... -♦- 11) = s (dep -f- 1 à n), 



et calculons les coefficients a de x'i par la méthode de Jacobi, 

 en posant 



= .... = ^if^ = 2S. (57) 



Waj Via,/ 



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