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 Si la fonction ^ est un invariant, on sait que 



fi désignant une fonction homogène et du second degré des 

 n — 1 autres variables x'^^....Xn. 



Les équations (37), où f est remplacé par /;, et S^ par Sg, 

 permettent de calculer semblablement les p, et il en résulte 



/= SiXj- -\- S.,X2^ -4- /a, 



/s ne dépendant plus que àQxl....Xn. En continuant de la sorte 

 jusqu'à ce qu'on ait employé les q racines réelles, on arrive à 

 l'identité 



désormais irréductible, où /, est une fonction homogène du 

 second degré des n — r/ variables x\^x....x'„, et où les coeffi- 

 cients ont leur signe mis en évidence suivant qu'ils représen- 

 tent des racines du premier ou du second groupe; mais il 

 reste à prouver que ce signe extérieur ne dépend pas de l'ordre 

 adopté pour l'emploi des racines S,.. ..S,. Si l'on intervertit 

 deux racines du premier groupe, telles que S^ et S,, on a 

 alternativement 



/■= S,ar;- -+- /;, f= S^rr -*- F,, 



df _ df, df __ rfFi ^ 



dx2 rfjT, dx'^ dx'<i 



donc les coefficients p ont, par le second calcul, les mêmes 

 valeurs données aux a par le premier, et vice versa; donc enfin 

 tout se passe comme si l'on avait interverti également xl et xi. 



Un raisonnement analogue prouve qu'en intervertissant 

 deux racines du second groupe, par exemple S,,^, et S,, c'est 

 comme si un échange avait été opéré entre x,',+i e{ x'q. 



Supposons maintenant qu'on échange une racine du pre- 



