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de première catégorie, les n—p autres, multipliés par e, 

 forment la seconde catégorie; la suite rangée est ainsi com- 

 posée de groupes dans chacun desquels les coefficients sont 

 de même espèce, et qui sont alternativement de première 

 catégorie ou de seconde. Appelons X le nombre des groupes, 

 Ml et M„ le plus petit et le plus grand coefficient de la suite 

 rangée, B1B2....B,, C,C.2....C,- deux groupes consécutifs. Quand 

 S croît de Bi -+- a à B, — a, la suite des valeurs numériques de 

 (p(S) présente i — 1 variations, tandis qu'elle n'en présente 

 aucune quand S croît de B,- -+- a à Ci — a; donc quand S croît 

 de M, « a à M„ — a, il y a n — X variations ; de plus, si M, est 

 de première catégorie, M„ de deuxième, on a 



^(— oc)=1, ^(Mi — a)>0; ?(M„-Ha)>0, f{+ 0^)= i 



(0 variation) ; 



si, au contraire, M„ est de première catégorie et M, de 

 deuxième, 



^(— oc)=l, ç,(Mi— a)<0; n'M„-4-a)<0, î;(+oc) = 1 



(2 variations); 



enfin, si M, et M„ sont de même catégorie, il y a une variation 

 au-dessous de M, ou au-dessus de M„. En résumé, le nombre 

 total des variations est n — > h- /* [h = 0, ! , 5), donc cp(S) = 

 a au moins n — 'k -*- h racines réelles, séparées par la suite, 

 et au plus X — h racines imaginaires. 



Pour que la racine réelle S, soit multiple d'ordre;;, il faut 

 et il suffit que Si annule tous les mineurs de cp(S) dont la classe 

 est inférieure ou égale è. p — i. 



Appliquons la discussion précédente à l'équation du qua- 

 trième degré (34). Comme la substitution 



X == x' cos (X — y' sin a, 

 y = (x' sin a. -*- y' cos a) cos p — z' sin 8, 

 z = (x' sin CL -\- y' cos a) sin (3 -*- 2' cos p, 

 u = u' 



