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prenons pour nouvelle origine le pied o' de la perpendicu- 

 laire oo' abaissée sur ce plan, pour axe des z' nouveau celte 

 perpendiculaire, et deux lignes quelconques o'x\ o'y' rectan- 

 gulaires de ce plan pour compléter le trièdre des axes; moyen- 

 nant cette transformation, l'équation (38) prend la forme 



Air ^ -+- A',/;'"' -+- A'/z" -+- K"u''' -+- '2B\'x'y' -+- 2C,mV = 



privée de tous les rectangles en z'. Son équation en S a pour 

 racines 83= A'/ et Sj. A celte dernière répond un plan prin- 

 cipal réel perpendiculaire à x'o'y' et dont la trace va être 

 choisie pour nouvel axe des x. De ce fait, l'équation est 

 réduite à 



A,x"' -H 82^"-' -t- 832"-^ -h A;"«"' -+- '■2(\^h"x" = 0. 



Ici le calcul se bifurque, puisque l'équation en S de cette 

 nouvelle fonction est 



(S, — S)(S3 — S)[(A, — s)(a:; - .s) - qj = o : 



1° Si les deux autres racines Si, S^ sont réelles et distinctes, 

 une simple translation sur o"x" fera disparaître le rectangle, 

 et, portant l'origine en un point toujours réel, réduira tinale- 

 ment l'équation (38) à la forme 



SiX'-' -4- S,Y^ -+- S,Z' -+- i:S,u' =0. . . . (3i)) 



Lorsque 81 = 84 et que £ = '1, le résultat précédent subsiste; 

 mais, pour £== — 1, le plan principal répondant à celte racine 

 double est rejeté à l'intini, et le point également; la transfor- 

 mation à faire alors rentre dans le cas suivant : 



2" Soient S, et 84 imaginaires; le réalisant 



n == {A. -+- a;")' — 4q 



éiant négatif, les points de rencontre de l'axe o"x" avec la 

 quadrique sont donnés par l'équation 



Tome LX. 8 



