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 H" CLASSE. — n < 0. Paraboloïdes, 



Pour bien se rendre compte de la forme de ces surfaces à 

 un seul axe et à deux plans principaux, il faut étudier la 

 nature des sections faites par les plans perpendiculaires ù ox 

 ou contenant ox; les premières font connaître la forme des 

 nappes réelles, et les secondes celle des nappes idéales. 



1° Sections planes perpendiculaires à ox. 



L'abscisse du plan sécant étant p, l'équation de la section 

 dans son plan est, d'après (40), 



s^y'^ -^ s^z'"^ — î/'^(2Pchjo — Sislipjshp ^ 0; 



c'est donc une ellipse quand s^ Sz est positif, une hyperbole 

 pour 6'2 i's négatif. 



a) Admettons d'abord que Si, Sa, s^ soient positifs; les demi- 

 axes b' c' de l'ellipse sont déterminés par les équations 



_ (2P— g,ih;))(hjo , (9P — .s.(h^)thp 



s,{\ — Ib» 



s-J\ 



lh>) 



qui pour Sz > ^2 donnent b' y c' \ la forme de la section est 

 indiquée dans ce tableau : 



b) Lorsque Si et s-^ sont positifs, et que s, est négatif, en fai- 

 sant varier/; de à — oo, on obtient un tableau semblable au 

 précédent, avec cette ditïerence que, dans l'ellipse réelle, 

 b' est < c. 



c) Soient enfin s^ et s, positifs, tandis que s^ est négatif; 

 le demi-axe réel de l'hyperbole est c' si p est positif, et b' si p 

 est négatif; le tableau des sections est le suivant : 



