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 Car, considérons le cône limite 



(A, — f A/jXf -*- (As — £A,)Xl -♦- (A3 — eA^)Xl = 0; (44) 



en lui appliquant le calcul précédent, on reconnaît queD, K, M* 

 ont les mêmes valeurs déjà trouvées; par suite, les équations 

 (U) (V) représentent aussi ses plans cycliques. 

 Ceci posé, u^, u^, M4, i^», l's, Vt, satisfont aux deux conditions 



Ul £UI 



0, 



Aj A, — As A, — fc A4 



= 0, 



Vl Vl £Vl 



Aj — A3 Aj — A3 Al — £\i 



donc les traces des plans (U) (V) sur le plan principal Xi = 0, 

 qui leur est normal, sont tangentes à la conique 



(A, - A,)X| H- (A, - A3)X1 -^ (A,. - AJXÎ = 0, (45) 



qui a quatre points limites communs avec la conique principale 

 du plan Xi = sur le cercle de l'infini de ce plan ; l'enveloppe 

 des plans (U) (V) est donc aussi un cône ou cylindre limite de 

 la quadrique. 



Théorème. Le lieu des centres des sphères auxiliaires de rayon 

 donné ï est une conique. 



Deux sections, l'une du système (U), lautre du système (V), 

 peuvent toujours appartenir à une même sphère S; au 

 contraire, deux sections du même système (U) ou (V) ne 

 sauraient jouir de cette propriété. Ceci posé, quand, dans la 

 seconde des équations (43), on suppose t constant, et x^, Xz, Xi 

 variables, on a, dans le plan principal Xj = 0, le lieu du 

 centre de la sphère de rayon t, qui est la conique 



X| XI cXl K 



— = 0. (46) 



A^ — A2 A, — A3 A, — fA^ £A^ 



Pour R «= 0, elle n'est autre chose que la réciproque de (45) 

 ce qui était prévu a priori. 



