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37. Sphères focales, coniques focales et direclriccs. 



Toute sphère S coupant la quadrique suivant deux cercles 

 (U) (V) lui est bitangente aux points de rencontre de ces 

 cercles; nous dirons que c'est une sphère focale^ et, en parti- 

 culier, si son rayon t est nul, son centre sera un foyer de la 

 quadrique. Le lieu des foyers situés dans le plan principal 

 X, = s'obtient donc en faisant R = 1 dans l'équation (46), 

 qui devient 



A, A, A, 



T- ^ — 7^ * 



Aa A3 eA* 



= . . . (47) 



Cette conique est la focale de Q située dans le plan X, = 0. 

 Chaque plan principal de Q renferme ainsi une focale réelle, 

 idéale ou imaginaire, et il y a toujours deux focales réelles. 



Les quadriques riemanniennes admettent quatre séries de 

 sphères focales; les quadriques lobatchefskiennes à centre ont 

 trois séries de véritables sphères focales ayant leurs centres 

 dans les plans de symétrie réels, puis une série d'hypersphères 

 bitangentes suivant les extrémités d'un diamètre et ayant leurs 

 centres dans le plan équatorial X4 = 0; les plans tangents 

 à Q aux extrémités d'un même diamètre sont des cas particu- 

 liers de ces dernières surfaces. 



La focale du plan Xj == a mêmes foyers que la section 

 principale de ce plan. 



Car l'abscisse y du foyer de la section principale a pour 

 cosinus circulaire ou hyperbolique 



et l'abscisse y' du foyer de la conique (47) est déterminé de la 

 même manière; donc y' == y. 



