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 ce qui donne 



*^ ^ ~ x[dyd\-dzd\j)-^y[dzd''x-dxd^z)-\-z[dxd^y-dyd^z) 



En pratique, il est plus commode de prendre deux variables 

 nouvelles (variables de Gudermann) : 



X y 



z z 



et traitant v comme fonction de u, de poser 



3 



tgR = d-L ^ —^ . . . (49) 



3 



[1 _H s{u' -H V^)YV 



Pour £ = — 1, les formules (48) et (49) font connaître th R. 

 En les appliquant à l'ellipse, pour laquelle ueiv sont liées par 

 la relation 



on trouve 



A^B^ cos^OM , ^ — A'B' ch'OM 



tgR=r — , thR = 



sin^OH sh^OH 



OH étant perpendiculaire sur la tangente MT en M. Pour 

 construire le centre w de courbure, déterminons le point M' 

 conjugué de M (fig. 30), et la normale M'N' en ce point, 

 ensuite abaissons OJ perpendiculaire sur M'N'; d'ailleurs, la 

 normale MN au point M coupant les axes de l'ellipse respec- 

 tivement en a et j3, élevons par ces points les perpendiculaires 

 à ces axes, et soit ï leur point de concours; la perpendiculaire 

 abaissée de I sur OJ coupe MN au centre de courbure 

 cherché w *. 



* Voir Mannheim, Cours de géométrie de VÉcole polytechnique, p. 175. 



