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un point quelconque m de AA, son plan tangent P et la per- 

 pendiculaire Mn abaissée de M sur ce plan. Il existe une 

 sphère tangente en M au plan xMy, et dont le rayon a pour 

 tangente circulaire ou hyperbolique 1, et en un point {ji de 

 cette sphère voisin de M, le plan tangent P' est aussi perpen- 

 diculaire à Un; quand m décrit AA, p. décrit sur la sphère 

 l'élément d'aire AA' ; nous dirons que ^ est la courbure 

 moyenne de S relative à AA, et que sa limite pour 



AA=0, AA' = 0, 



est la courbure w de la surface au point M. Nous prouverons 

 simplement que 



a =^ > 



tgl'i.tgïa 



ïi et Ts étant lès rayons de courbure principaux du point M. 

 En effet, m et m' désignant deux points quelconques de 

 l'aire A A, l'aire du triangle rectiligne 



Mmm' = Aff 



est exprimée par la formule 



tg 



Mm Mm' 



tg — 



tff tg sin mUm' 



2 Mm Mm' ^— 



1 -4- f ts ta cos mMm' 



* 2 ^ 2 



soient 6, 9', G" des infiniment petits du second ordre au moins ; 

 nous avons 



Mm, 1 „ ,. 



tg — =-tgMm(1 -v-e) 



Mm' \ 



^^~2"^2*^ '^ ■^^) 



Mm Mm' \ 



tg — tg — = - tg Mm . Ig Mm'(l + e"). 



